education - חינוך מתמטיקה לכיתות ז', ח', ט' לכל המגזרים האגף לתכנון ולפיתוח תכניות לימודים

עדכוני rss

 
   
 
 
 
 
 
 
מלבן וחפיפת משולשים
(20 שעות)
 

תכנים

הבהרות ודוגמאות

 

חפיפה

 

שתי צורות נקראות חופפות אם ניתן להניח אחת הצורות על האחרת כך שתכסה אותה בדיוק.

אפשר לבדוק חפיפה על ידי הנחת צורה אחת או עותק שלה על הצורה האחרת.

התלמידים יזהו צורות חופפות במצבים שונים במישור.

 

זווית, מידת זווית, מושג המעלה, השוואת קטעים, השוואת זוויות 

 

תיערך חזרה קצרה על המושגים.

מעלה היא 1/360 של הסיבוב השלם.

במהלך זיהוי חפיפה ידונו התלמידים בהשוואת קטעים ובהשוואת זוויות.

חלקים מתאימים בצורות חופפות 

 

משולשים חופפים

התלמידים יכירו את המושגים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות במצולעים חופפים.

  • שני משולשים הם חופפים אם כל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות בהתאמה.
  • בדיקה של ששה שוויונים של צלעות וזוויות מבטיחה חפיפה. האם יש דרך בדיקה "חסכונית" יותר?

 

§     דוגמה לפעילות:

בניית משולשים ששווים בחלק מהמרכיבים שלהם.

באילו מקרים מתקבל משולש יחיד?

מטרת הפעילות היא להבין כמה תנאים ואילו תנאים מבטיחים חפיפה. יש לכוון בעיקר למשפטי החפיפה צז"צ, זצ"ז.

 

יש להדגיש ששלושת הנתונים השווים בשני המשולשים חייבים להיות בהתאמה על פי סדר על מנת להבטיח חפיפה.

 

הנחת יסוד ראשונה:

דרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד ויחיד.

מסקנה:

שני ישרים שונים נפגשים בנקודה אחת לכל היותר.

 

 

משפטי חפיפה

1. שני משולשים השווים בשתי צלעות ובזווית הכלואה ביניהם – חופפים (צז"צ).

2.  שני משולשים השווים בשתי זוויות ובצלע הכלואה ביניהן – חופפים (זצ"ז).

 

 

 

 

 

 

 

 

6 שעות

 

מראים זאת על ידי כך ש"מניחים" את החלקים המתאימים זה על גבי זה (ללא הנמקה אכסיומטית) ומשתמשים בהנחת היסוד הראשונה: במקרה של צז"צ, הישר המחבר את הקצוות החופשיים של שתי הצלעות נקבע באופן יחיד, ובמקרה של זצ"ז, נקודת הפגישה של שתי השוקיים החופשיות של שתי הזוויות נחתכות בנקודה יחידה.

דוגמאות לפעילויות:

  1. א. לפניכם זוגות של משולשים שנתונות בהם זוויות וצלעות. האם המשולשים חופפים?
    ב. כנ"ל בסרטוט מורכב.
  2. נתונים זוגות של משולשים חופפים שנתונות בהם זוויות וצלעות. השלימו את מידות הצלעות והזוויות החסרות.
  3. נתון מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה. מצאו זוגות של משולשים חופפים שנוצרים במרובע על ידי האלכסונים

 

מושגים:

ישרים מאונכים, קטעים  מאונכים;

זווית ישרה היא בת 90 מעלות

 

חזרה והרחבה:

החזרה תכלול בנייה, זיהוי והגדרה של המושגים.

ניתן להדגים זווית ישרה על ידי קיפול נייר. פריסת הנייר תראה ישרים מאונכים.

זיהוי הישרים המאונכים ובנייתם תיעשה במצבים שונים במישור, לא רק במקביל ובמאונך לשולי הדף.

דוגמה לפעילות:

זיהוי זוויות וישרים מאונכים בסביבה.

 

הגדרה:

מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות.

בקיפול ובסרטוט רואים שאם בונים מרובע ששלוש מבין זוויות ישרות, גם הרביעית ישרה.

דוגמה:

בנו מרובעים שונים שלהם זווית אחת ישרה; שתי זוויות ישרות; שלוש זוויות ישרות. תארו מה קיבלתם.

 

ניתן לציין גם את העובדה שבמלבן הצלעות הנגדיות מקבילות.

 

הנחת יסוד שניה:

שני ישרים הניצבים לשתי שוקי זווית ישרה ניצבים זה לזה.

מסקנה:

מרובע ששלוש מזוויותיו ישרות הוא מלבן.

 

 

משפטים:

1. הצלעות הנגדיות במלבן שוות זו לזו.

(הטיפול בהוכחה תלוי ברמת הכיתה)

 

 

כהקדמה להוכחת המשפט, אפשר לקפל מלבן לאורך אנך היוצא מאמצע אחת הצלעות ולראות שמתקבלים שני מלבנים חופפים. במיוחד רואים שהצלעות הנגדיות האחרות שוות זו לזו.

הוכחת המשפט:

בסרטוט שלפנינו, שני המרובעים שהתקבלו מחלוקת  המלבן על ידי האנך האמצעי הם מלבנים (יש בהם 3 זוויות ישרות).

 

 

                                   

המשולשים 1,2 חופפים צז"צ, ומכאן נובע שוויון הזוויות החדות
המתאימות במשולשים 3,4 ולכן גם חפיפתם זצ"ז.

 

2. אלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית חופפים, ולהפך: משולש ישר זווית ניתן להשלים למלבן על ידי הוספת משולש חופף לו.

 

3. משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן על ידי הוספת משולש חופף לו.

 

 

שטח מלבן

משפט רשת מלבנים: ניצבים לשוקי זווית ישרה החותכים אותם במרחקים שווים זה לזה (לאו דווקא אותו מרחק על שתי השוקיים)  יוצרים רשת מלבנים חופפים. אם אחד מהם ריבוע אז כולם ריבועים.

 

שטח מלבן: כמות "ריבועי יחידה" (כלומר ריבוע שצלעו יחידת אורך אחת) שנכנסים בו.

משפט:

שטח מלבן שווה למכפלת אורכי הצלעות הסמוכות שלו.

משפט רשת מלבנים הוא משפט מקדים המסייע במציאת שטח מלבן.

 

 

 

 מלבן שבו כל הצלעות שוות נקרא ריבוע.

 

 

 

 

 

 

 

 

ניתן לחלק מלבן, שאורך צלעותיו נתון במספרים שלמים, לרשת ריבועי יחידה. מכלילים לאורכי צלעות כלשהם (עם הנמקה במקרה הרציונלי).

דוגמאות:

א. מלבן שאורך צלעותיו 3 ס"מ ו-4 ס"מ שטחו 12 סמ"ר

הוכחה לכך על-ידי רשת ריבועי-יחידה.

 

 

ב. מלבן שאורך צלעותיו 1/3 ס"מ ו- 1/2ס"מ שטחו 1/6 סמ"ר .

הוכחה לכך על-ידי חלוקה של ריבוע יחידה.

 

 

תרגול בנושא שטח מלבן יכלול חישובי שטחים בצורות המורכבות ממלבנים, כולל פני תיבה.

דוגמה:

ממגרש ריבועי שצלעו 23.5 מ', הורידו לחנייה פינה מלבנית שמידותיה 8 מ' X 3.5 מ' . על שארית המגרש בנו בית מלבני שמידותיו 11מ' X 12.5 מ' . אל הבית מובילה רחבה מרוצפת שרוחבה 3.5 מ' ואורכה 7 מ'. את שאר השטח רוצים לכסות ביריעות דשא. כמה מ"ר דשא צריך להזמין?

 

 

 

 

1. סכום הזוויות במשולש ישר זווית הוא 180°.

2. סכום הזוויות במשולש הוא 180°.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. סכום הזוויות במרובע הוא 360°.

 

 

גובה במשולש

 

תזכורת:

משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן על ידי הוספת משולש חופף.

 

 

ההוכחה מסתמכת על כך שאחד הגבהים במשולש עובר בתוכו ונוצרים שני משולשים ישרי זווית. חשבון זוויות מוביל לסכום הזוויות במשולש כלשהו.

התרגול יכלול חישובי זוויות בצורות מורכבות ובין השאר חישוב סכום זוויות במצולע כלשהו.

דוגמה:

הוכיחו: ארבעת האלכסונים הנפגשים בקדקוד של רשת מלבנים נמצאים על שני ישרים.

 

ניתן להוכיח כתרגיל.

 

הגדרה, בנייה של גבהים במשולשים, זיהוי גבהים במשולשים. התייחסות למצבים שונים: הגובה נופל בתוך המשולש, מחוצה לו או על אחת מצלעותיו.

 

דוגמה:

א. סמנו את כל הגבהים בכל אחד מהמשולשים הבאים: 

 

 

 

4. שטח משולש ישר זווית הוא מחצית מכפלת אורכי הניצבים.

5. שטח משולש הוא מחצית המכפלה של אורך צלע באורך הגובה אליה.

 

מכאן ניתן להרחיב לגבי  שטח משולש כלשהו, (מסתמך על אדטיביות של שטחים).

 

 

 

התרגול יכלול חישובי שטחים של צורות מורכבות ממלבנים וממשולשים.

 

1. האלכסונים במלבן שווים זה לזה.

2. האלכסונים במלבן חוצים זה את זה.

 

ההוכחה נעזרת בשוויון הצלעות הנגדיות.

 
 
 
    תאריך עדכון אחרון:  18/05/2005